Question

若函数f（x）=

ax+b

x2+1

是偶函数，且f（1）=2．
（1）求a、b的值及f（x）；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得，f（-x）=

-ax+b

x2+1

=f（x）=

ax+b

x2+1

对任意x∈R恒成立，f（1）=2，从而求求a、b的值及f（x）；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，再利用复合函数的单调性证明．

解答： 解：（1）由题意可得，对任意x∈R，都有
f（-x）=

-ax+b

x2+1

=f（x）=

ax+b

x2+1

，
解得，a=0，
又∵f（1）=

b

2

=2，
∴b=4；
故f（x）=

4

x2+1

；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，证明如下，
令u=x²+1，
∵u=x²+1在（0，+∞）上单调递增，
且y=

4

u

在（0，+∞）上单调递减，
∴由复合函数的单调性可知，
函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用与函数的单调性的证明，属于基础题．