题目内容
已知函数f（x）=2ax+
（a∈R）．
（1）当0＜a≤
时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性并用定义证明你的结论；
（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．
| 1 |
| x |
（1）当0＜a≤
| 1 |
| 2 |
（2）对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）利用定义证明即可，
（2）利用导数判断函数的最值，需要分类讨论，问题得以解决
（2）利用导数判断函数的最值，需要分类讨论，问题得以解决
解答：
解：（1）f（x）在（0，1]上的单调性递减，
理由如下：
设x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=2ax1+
-2ax2-
=2a（x1-x2）+
=
（1-2ax1x2），
∵x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，0＜a≤
，
∴x2-x1＞0，0＜x1•x2＜1，0＜2ax1x2＜1，1-2ax1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，
（2）∵f（x）=2ax+
，
∴f′（x）=2a-
=
，
①当a≤0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1]单调递减，
∴f（x）min=f（1）=2a≥6，
解得a≤3，
∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
②当a＞0时，
令f′（x）=0，解得x=
，
当f′（x）＞0，即x＞
，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜
，函数f（x）单调递减，
当
≥1时，即0＜a≤
时，f（x）在（0，1]上的单调性递减，
∴f（x）min=f（1）=2a≥6恒成立
解得a≤3，
当
＜1时，即a＞
时，
∴f（x）在（0，
]上的单调递减，在（
，1）上单调递增，
∴f（x）min=f（
）=2a•
+
≥6恒成立，
解得a≥
，
综上所述实数a的取值范围为（-∞，
]∪[
，+∞）
理由如下：
设x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=2ax1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x2-x1 |
| x1x2 |
| x2-x1 |
| x1x2 |
∵x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，0＜a≤
| 1 |
| 2 |
∴x2-x1＞0，0＜x1•x2＜1，0＜2ax1x2＜1，1-2ax1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在（0，1]上的单调性递减，
（2）∵f（x）=2ax+
| 1 |
| x |
∴f′（x）=2a-
| 1 |
| x2 |
| 2ax2-1 |
| x2 |
①当a≤0时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，1]单调递减，
∴f（x）min=f（1）=2a≥6，
解得a≤3，
∴a≤0时，对于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，
②当a＞0时，
令f′（x）=0，解得x=
|
当f′（x）＞0，即x＞
|
当f′（x）＜0，即0＜x＜
|
当
|
| 1 |
| 2 |
∴f（x）min=f（1）=2a≥6恒成立
解得a≤3，
当
|
| 1 |
| 2 |
∴f（x）在（0，
|
|
∴f（x）min=f（
|
|
| 2a |
解得a≥
| 9 |
| 2 |
综上所述实数a的取值范围为（-∞，
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
点评：本题主要考查了函数的单调性和导数与函数的最值问题，以及求参数的取值范围，属于中档题
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已知函数f（x）=已知集合A={x|x2-3x-4≤0}，B={x|x=
，x∈Z，k∈Z}，则A∩B=（ ）
| 3 |
| 2k-1 |
| A、{-1，1} |
| B、{-1，1，3} |
| C、{-3，-1，1} |
| D、{-3，-1，1，3} |
如图，在三棱锥A-BCD中，BC=CD=DB，AB=AC=AD；E，F为棱BD，AD的中点，若EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为已知函数y=f（x）的图象在区间[a，b]上是连续不断的，且满足f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，a＜b），则函数f（x）在（a，b）内（ ）
| A、无零点 |
| B、有且只有一个零点 |
| C、至少有一个零点 |
| D、无法确定有无零点 |