Question

设函数f（x）=2^x+

a

2x

-1（a为实数）．
（Ⅰ）当a=0时，求方程|f（x）|=

1

2

的根；
（Ⅱ）当a=-1时，若对于任意t∈（1，4]，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，求k的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2^x-1，由题意得|2^x-1|=

1

2

，进一步可得所以2^x-1=

1

2

，或2^x-1=-

1

2

，解出x即可；
（Ⅱ）当a=-1时，f(x)=2x-

1

2x

-1，易推函数f(x)=2x-

1

2x

-1在R上单调递增，
不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，故k＞t²+2t，从而k＞（t²+2t）_max，求最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2^x-1，
由题意得|2^x-1|=

1

2

，
所以2^x-1=

1

2

，或2^x-1=-

1

2

，
解得x=log2

3

2

或x=-1；
（Ⅱ）当a=-1时，f(x)=2x-

1

2x

-1，
由于函数y=2^x递增、函数y=

1

2x

递减，所以f(x)=2x-

1

2x

-1在R上单调递增．
不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，
即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，即t²-2t＞2t²-k，故k＞t²+2t，
从而k＞（t²+2t）_max，
又当t∈（1，4]时，（t²+2t）_max=24，
所以k＞24．

点评：本题主要考查指数函数方程的解法，同时考查函数恒成立的问题，函数恒成立问题转化为求函数的最值是解题的突破口．