Question

定义：若对任意x₁、x₂∈（a，b）恒有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凹函数．已知凹函数具有如下性质：对任意的x_i∈（a，b）（i=1，2，…，n），必有f（

x1+x2+…+xn

n

）≤

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

成立，其中等号当且仅当x₁=x₂=…=x_n时成立．
（1）试判断y=x²是否为R上的凹函数，并说明理由；
（2）若x、y、z∈R，且x+y+2z=8，试求x²+y²+2z²的最小值并指出取得最小值时x、y、z的值．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,推理和证明

分析：（1）利用凹函数的定义，即可得出结论；
（2）利用题中条件：“x+y+2z=8”构造柯西不等式：（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²=64这个条件进行计算即可．

解答： 解：（1）f（

x1+x2

2

）=（

x1+x2

2

）²，

f(x1)+f(x2)

2

=

x12+x22

2

≥

x12+x22+2x1x2

4

=（

x1+x2

2

）²，
∴对任意x₁、x₂∈（a，b）恒有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

成立，
∴y=x²是R上的凹函数；
（2）∵（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²=64，
∴x²+y²+2z²≥16，当且仅当x=y=

2

z时取等号，
∵x+y+2z=8，∴x=y=4（

2

+1），z=4+2

2

．
∴x²+y²+2z²的最小值为16，此时x=y=4（

2

+1），z=4+2

2

．

点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x²+y²+2z²）（1²+1²+

2

²）≥（x+y+2z）²=64．