Question

若直线l过抛物线y²=4x的焦点F，交抛物线于A、B两点，且点B在x轴下方，若直线l的倾斜角θ≤

3π

4

，则|FB|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设B（x₁，y₁），依题意可求得抛物线y²=4x的焦点F（1，0）与准线方程x=-1；利用抛物线的定义，将|BF|转化为点A到其准线的距离，通过解方程组即可求得|FB|的最大值，从而可得|BF|的取值范围．

解答： 解：设B（x₁，y₁），依题意可求得抛物线y²=4x的焦点F（1，0）与准线方程x=-1；
利用抛物线的定义，|FB|=x₁+1．
当AB的倾斜角θ=0°时，x₁=0，|FB|=1，此时直线和抛物线只有一个交点，与题意不符；
当AB的倾斜角θ=135°时，|FB|最大，此时直线FB的方程为：y=-（x-1）=1-x．
由

y=1-x y2=4x

 可得x=3+2

2

，或 x=3-2

2

（舍去），
故∴|BF|的取值范围是（1，3+2

2

]，
故答案为：（1，3+2

2

]．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查方程思想与等价转化思想，考查运算能力，属于基础题．