Question

如图在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2

2

．
（1）求直线PC与平面PAD所成的角；
（2）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）取E为AD的中点，CE⊥平面PAD，∠CPE即PC与平面ABD所成的角；
（2）利用二面角的平面角的定义，作棱的垂线，从而∠AFC即二面角A-PB-C的平面角．

解答： 解：（1）取E为AD的中点，连接CE、PE，∵BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2

2

，∴正方形ABCE，CE⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴CE⊥平面PAD，∠CPE即PC与平面ABD所成的角，PE=CE=

2

，∴∠CPE=45°，PC与平面ABD所成的角大小为45°-----------------（6分）

（2）在Rt△PCE中，CE=PE=

2

，PE=2，PA=PE，AB=AC，PB=PB∴△PAB≌△PCB，在△PAB中作AF⊥PB，垂直F，连CF，则CF⊥PB，∠AFC即二面角A-PB-C的平面角，在△AFC，AF=CF=

2 3

3

，AC=2，cos∠AFC=-

1

2

，∴二面角A-PB-C的大小为120°--------------------------（12分）

点评：本题考查线面角、二面角的平面角的计算，应掌握线面角、二面角的平面角的作法是关键．