Question

如图，多面体ABCDEF中，BA、BC、BE两两垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（Ⅰ）若点G在线段AB上，且BG=3GA，求证：CG∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面DEF．
（Ⅲ）求直线DF与平面ABEF所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别取AB、AF的中点M、H，连结MF，GH，DH，由已知条件推导出四边形CDHG是平行四边形，由此能证明CG∥平面ADF．
（II）由已知条件推导出BD⊥DE，从而得到BA⊥面BCDE，进而得到BA⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABD，从而得到平面DEF⊥平面ABD．
（Ⅲ）取BE的中点O，连接OF，由已知条件推导出∠DFO是直线DF与平面ABEF所成的角，由此能求出直线DF与平面ABEF所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：分别取AB、AF的中点M、H，连结MF，GH，DH，
有AG=GM，MF

∥

.

BE．
∵AH=HF，∴GH

∥

.

1

2

MF，…（1分）
又∵CD

∥

.

1

2

BE，BE

∥

.

MF，∴CD

∥

.

GH，
∴四边形CDHG是平行四边形，∴CG

∥

.

DH，…（3分）
又∵CG不包含于平面ADF，DH?平面ADF，
∴CG∥平面ADF．…（4分）
（II）证明：在△BDE中，BD=

2

，DE=

2

，BE=2，
∴BD²+DE²=BE²，∴BD⊥DE，…（6分）
又∵BD⊥BC，BA⊥BE，BC∩BE=B，
∴BA⊥面BCDE，∴BA⊥DE，…（8分）
又∵AB∩BD=B，
∴DE⊥平面ABD，又∵DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABD．…（9分）
（Ⅲ）解：取BE的中点O，连接OF，
∵BD=DE，∴OD⊥BE，
又∵AB⊥底面BCDE，∴AB⊥OD，
AB∩BE=B，∴OD⊥面ABEF，
∴OF为DF在面ABEF内的射影，∴∠DFO是直线DF与平面ABEF所成的角，…（11分）
在Rt△DFO中，DO=1，DF=

3

，
∴sin∠DFO=

3

3

，
∴直线DF与平面ABEF所成的角的正弦值为

3

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．