Question

定义域为R的函数y=f（x），当x＞0，f（x）＞1，对任意a，b∈R有f（a+b）=f（a）•f（b） 
（1）求f（0）；
（2）证明对x∈R，有f（x）＞0；
（3）证明f（x）在R上为增函数；
（4）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）为使f（a+b）=f（a）•f（b）中有f（0），由当x＞0时，f（x）＞1．可设x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），结合f（1）＞1可求f（0）
（2）（3）要证明f（x）在R上是增函数，即证明当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），当x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0，则f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁），可证
（4）由f（x）•f（2x-x²）＞1得到3x-x²＞0，解得即可．

解答： （1）解：设a=0，b=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），
即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得当x₁＞0时，f（x₁）＞1＞0
当x₁=0时，f（x₁）=1＞0
当x₁＜0时，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1
∴0＜f（x₁）＜1
故对于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
（3）证明由（2）可知，
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），
故f（x）在R上为增函数；
（4）∵f（x）•f（2x-x²）＞1，
∴f（x）•f（2x-x²）=f（3x-x²）＞1，
∴3x-x²＞0，
解得0＜x＜3

点评：本题主要考查了利用抽象函数的赋值法求解函数值，及利用构造法证明函数的单调性的技巧要求考生熟练应用，属于中档题．