题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右准线为x=
，离心率为
，A（-a，0），B（0，b），光线通过点C（-1，0）射到线段AB上的点T（端点除外），经过线段AB反射，其反射光线与椭圆交于点M．
（1）求椭圆的方程；
（2）若TC=TM，求T点横坐标m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆的方程；
（2）若TC=TM，求T点横坐标m的值．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）运用椭圆的准线方程和离心率公式，及a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆方程；
（2）求出直线AB的方程，设点C关于AB的对称点为C’（x0，y0），利用中点坐标公式和垂直的结论，列出方程，求出C'，得到直线CM的方程，再由椭圆方程，求出交点，再由中点坐标公式，即可得到m．
（2）求出直线AB的方程，设点C关于AB的对称点为C’（x0，y0），利用中点坐标公式和垂直的结论，列出方程，求出C'，得到直线CM的方程，再由椭圆方程，求出交点，再由中点坐标公式，即可得到m．
解答：
解：（1）根据题意：右准线方程为：x=
=
，
e=
=
，a2=b2+c2
联立解得：a=3，c=
，b=
∴椭圆方程为：
+
=1；
（2）A（-3，0），B（0，
）∴直线AB：y=
x+
，
设点C关于AB的对称点为C’（x0，y0），
=-
且
=
×
+
解得，x0=-2，y0=
，
∴C'（-2，
）
∵TC=TM∴TC'=TM，
∴T为C′M的中点．
CM的垂直平分线经过T点，根据相似，其实CM∥AB，则直线CM：y=
x+
，
联立椭圆方程x2+3y2=9，
解得，x=
，y=
，或x=
，y=
．
∴m=
=-
．
| a2 |
| c |
3
| ||
| 2 |
e=
| c |
| a |
| ||
| 3 |
联立解得：a=3，c=
| 6 |
| 3 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 3 |
（2）A（-3，0），B（0，
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
设点C关于AB的对称点为C’（x0，y0），
| y0 |
| x0+1 |
| 3 |
| y0 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| x0-1 |
| 2 |
| 3 |
解得，x0=-2，y0=
| 3 |
∴C'（-2，
| 3 |
∵TC=TM∴TC'=TM，
∴T为C′M的中点．
CM的垂直平分线经过T点，根据相似，其实CM∥AB，则直线CM：y=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
联立椭圆方程x2+3y2=9，
解得，x=
-1+
| ||
| 2 |
| ||||
| 6 |
-1-
| ||
| 2 |
| ||||
| 6 |
∴m=
-2+
| ||||
| 2 |
5+
| ||
| 4 |
点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查点关于直线对称的特点，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题．
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