Question

已知函数f（x）=a（x²+3）+bx+c，且关于x的不等式f（x）＜2x+3a的解集为（-1，2）．
（1）若关于x的方程f（x）=0有实数根，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）不存在正实数零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：由关于x的不等式f（x）＜2x+3a的解集为（-1，2）．可得-1，2是关于x的方程f（x）=2x+3a，即ax²+（b-2）x+c=0的两根，结合韦达定理可得b=2-a，c=-2a，
（1）若关于x的方程f（x）=0有实数根，则△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4≥0，进而构造关于a的不等式，解得实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）不存在正实数零点，则函数无零点，或只有非正零点，即△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4＜0，或

△=b2-4a(c+3a)≥0 x1+x2=- b a ≤0 x1•x2=- c+3a a ≥0

，求实数a的取值范围．

解答： 解：∵关于x的不等式f（x）＜2x+3a的解集为（-1，2）．
∴-1，2是关于x的方程f（x）=2x+3a，即ax²+（b-2）x+c=0的两根，
∴-1+2=1=-

b-2

a

，-1×2=-2=

c

a

，（a≠0）
∴b=2-a，c=-2a，
（1）若关于x的方程f（x）=0有实数根，
则△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4≥0，
即3a²+4a-4≤0，
解得：a∈[-2，

2

3

]，
∴a∈[-2，0）∪（0，

2

3

]，
即实数a的取值范围为[-2，0）∪（0，

2

3

]，
（2）若函数f（x）不存在正实数零点，
则△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4＜0，此时a∈（-∞，-2）∪（

2

3

，+∞），
或

△=b2-4a(c+3a)≥0 x1+x2=- b a ≤0 x1•x2=- c+3a a ≥0

，即

-2≤a≤ 2 3 ，且a≠0 a-2 a ≤0 3a-2a a =1≥0

解得：a∈（0，

2

3

]
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，-2）∪（0，+∞），

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，一元二次不等式的解法，是方程，函数不等式的综合应用，难度中档．