Question

若对一切的实数x，有3x²-2mx-1≥|x|-

7

4

成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：对x讨论，当x=0时，不等式显然成立；当x＞0时，原不等式即为3x²-2mx-1≥x-

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4

，即2m+1≤3(x+

1

4x

)，恒成立，运用均值不等式求出右边的最小值；当x＜0时，原不等式即为3x²-2mx-1≥-x-

7

4

，即2m-1≥3（x+

1

4x

），恒成立，运用均值不等式求出右边的最大值．最后求交集即可．

解答： 解：当x=0时，不等式即为-1≥-

7

4

，成立；
当x＞0时，原不等式即为3x²-2mx-1≥x-

7

4

，
即2m+1≤3(x+

1

4x

)，恒成立，由于x+

1

4x

≥2

x• 1 4x

=1，
当且仅当x=

1

2

取最小值1，则2m+1≤3，解得，m≤1；
当x＜0时，原不等式即为3x²-2mx-1≥-x-

7

4

，
即2m-1≥3（x+

1

4x

），恒成立，由于x+

1

4x

≤-2

x• 1 4x

=-1，
当且仅当x=-

1

2

，取最大值-1，则2m-1≥-3，解得m≥-1，
由于对一切的实数x，原不等式恒成立，
则实数m的取值范围是[-1，1]．

点评：本题考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离，转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．