Question

已知函数f（x）=2x|x-4|，g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0．
（1）求f（x）在区间[3，5]上的值域；
（2）若?x₁∈[3，5]，?x₂∈[3，5]，使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简f（x）=2x|x-4|=

-2x2+8x，3≤x≤4 2x2-8x，4＜x≤5

，由二次函数的单调性可得f（x）的单调区间，从而求f（x）在区间[3，5]上的值域；
（2）由（1）知，?x₁∈[3，5]，?x₂∈[3，5]，使f（x₁）=g（x₂）可化为[0，10]⊆{g（x）|g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0，x∈[3，5]}，从而可得[-2，8]⊆{（x-1）+

1-a

x-1

|a＞0，x∈[3，5]}，从而得到即

2+ 1-a 2 ≤-2 4+ 1-a 4 ≥8

，从而求解．

解答： 解：（1）：f（x）=2x|x-4|=

-2x2+8x，3≤x≤4 2x2-8x，4＜x≤5

，
故f（x）在[3，4]上单调递减，在[4，5]上单调递增，
则0≤f（x）≤2×5×1=10；
故f（x）在区间[3，5]上的值域为[0，10]；
（2）∵f（x）在区间[3，5]上的值域为[0，10]，
∴?x₁∈[3，5]，?x₂∈[3，5]，使f（x₁）=g（x₂）可化为
[0，10]⊆{g（x）|g（x）=

x2-a

x-1

，a＞0，x∈[3，5]}，
∵g（x）=

x2-a

x-1

=（x-1）+

1-a

x-1

+2，
∴[-2，8]⊆{（x-1）+

1-a

x-1

|a＞0，x∈[3，5]}；
则1-a＜0，即a＞1，
且当a＞1时，h（x）=（x-1）+

1-a

x-1

在[3，5]上是增函数，
则上式可化为h（3）≤-2且h（5）≥8；
即

2+ 1-a 2 ≤-2 4+ 1-a 4 ≥8

，
不等式组无解．
故不存在实数a．

点评：本题考查了分段函数的值域的求法及恒成立问题的处理方法，属于中档题．