Question

6．给出最小二乘法下的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$系数公式：
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如表的统计资料：

使用年限x （年）	2	3	4	5	6
维修费用y（万元）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？

Answer 1

分析 （1）根据数据，求得使用年限x及维修费用y的平均数，根据最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，即可求得线性回归方程．
（2）当x=12时，带入回归直线方程，求得$\widehat{y}$，即可求得使用年限为12年时，维修费用．

解答 解：（1）列表

i	1	2	3	4	5	总计
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42.0	112.3
${x}_{i}^{2}$	4	9	16	25	36	90
$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5； $\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=90；$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=112.3

$\widehat{b}$═$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，…（5分）
于$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=5-1.23×4=0.08．…（6分）
所以线性回归直线方程为$\widehat{y}$=1.23x+0.08．…（8分）
（2）当x=12时，$\widehat{y}$=1.23×12+0.08=14.84（万元），即估计使用12年时，维修费用是14.84万元．…（12分

点评 本题考查线性回归分析的应用，利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，利用回归直线方程进行预测，考察计算能力，属于基础题．