题目内容
11．
在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：| 时间x（s） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 深度y（μm） | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
（2）如果y对x有线性相关关系，请用最小二乘法求y关于x的回归直线方程；
（3）估计x=12时，腐蚀深度约是多少？
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：$\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a$=$\overline y$-$\hat b\overline x$．
参考数据：22+32+42+52+62=90，2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3．
分析 （1）由已知中腐蚀深度y与腐蚀时间x之间的统计表中数据，易画出数据的散点图；
（2）根据所给的样本中心点和两个最小二乘法要用的和式，写出b的表示式，求出结果，再代入样本中心点求出a，写出线性回归方程；
（3）根据（2）中所得的线性回归方程，代入x=12求出预报值．
解答 解：（1）表中数据的散点图如下图所示：
（2）$\overline x=4$，$\overline y=5$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{112•3-100}{90-80}=1.23$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=5-1.23×4=0.08$
所以回归直线方程是：y=1.23x+0.08
（3）当x=12时，y=1.23×12+0.08=14.84μm
点评 本题考查线性回归方程的做法和应用，是一个基础题，本题解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数．
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$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如表的统计资料：
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如表的统计资料：
| 使用年限x （年） | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 维修费用y（万元） | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
（1）线性回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？
16．某商场经营某种商品，在一段时间内，发现商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据，如表所示：
通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系．
（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（2）求销售量y对商品的价格x的回归直线方程；
（3）预测售价为10元时，商品的销售量是多少．
| 价格x | 9 | 9.5 | 10.5 | 11 |
| 销售量y | 11 | 10 | 6 | 5 |
（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（2）求销售量y对商品的价格x的回归直线方程；
（3）预测售价为10元时，商品的销售量是多少．
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