Question

18．若函数f（x）=x²+ax-$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，则a的取值范围（　　）

• A． （-∞，3]
• B． （-∞，-3]
• C． [-3，+∞）
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导函数，由导函数在（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立解答案．

解答 解：由f（x）=x²+ax-$\frac{1}{x}$，得f′（x）=2x+a+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}+{ax}^{2}+1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2x³+ax²+1，
要使函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，
则g（x）=2x³+ax²+1在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立，
g′（x）=6x²+2ax=2x（3x+a），
①当a≥0时，g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+$\frac{a}{4}$＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，满足条件；
②当-$\frac{3}{2}$≤a＜0时，3x+a≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增，
∴g（x）＞g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$+$\frac{a}{4}$＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，满足条件；
③a＜-$\frac{3}{2}$时，令g′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{a}{3}$，令g′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{a}{3}$，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{a}{3}$）递减，在（-$\frac{a}{3}$，+∞）递增，
∴g（x）_min≥g（-$\frac{a}{3}$）=2×${（-\frac{a}{3}）}^{3}$+a${（-\frac{a}{3}）}^{2}$+1≥0，
解得：a≥-3，此时f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，满足条件；
综上：a≥-3；
故答案为：[-3，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．