Question

1．如图，已知四棱锥S-ABCD，SB⊥AD，侧面SAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为菱形，侧面SAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
（1）求点S到平面ABCD的距离；
（2）若E为SC的中点，求二面角A-DE-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）解：作SO⊥平面ABCD，连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．推导出OB⊥AD，SF⊥AD．从而∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出点S到平面ABCD的距离．
（2）以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DE-C的正弦值．

解答 解：（1）如图，作SO⊥平面ABCD，垂足为点O．
连接OB，OA，OD，OB与AD交于点F，连接SF．
∵SB⊥AD，
∴OB⊥AD．
∵SA=SD，
∴OA=OD．
∴点F为AD的中点，所以SF⊥AD．
由此知∠SFB为侧面SAD与底面ABCD所成的二面角的平面角，
∴∠SFB=120°，
∵侧面SAD是边长为4的等边三角形，
∴SF=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴SO=SF•sin60°=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
即点S到平面ABCD的距离为3．…（6分）
（2）如图以O为坐标原点，使y轴与BC平行，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得：A（$\sqrt{3}$，2，0），D（$\sqrt{3}，-2$，0），C（3$\sqrt{3}$，-4，0），E（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-2，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{AD}$=（0，-4，0），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2，$\frac{3}{2}$），
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=-4y=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{DE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{3}{2}z=0.\end{array}\right.$令x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-1）．
设平面DEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}x+2y+\frac{3}{2}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{3}{2}z=0\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，-1），
设二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{13}}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角A-DE-C的正弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．