Question

20．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

	男性	女性	总计
爱好	10
不爱好		8
总计			30

已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是$\frac{8}{15}$．
（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？
（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据概率计算爱好运动的人数，再根据总人数填表，计算观测值k，结合概率表数据得出结论；
（2）利用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．

解答 解：（1）补充二联表如下：

	男性	女性	总计
爱好	10	6	16
不爱好	6	8	14
总计	16	14	30

由已知数据可求得：
k=$\frac{30×（10×8-6×6）2}{16×14×16×14}$≈1.158＜3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．
（2）X的取值可能为0，1，2．
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{4}{13}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{8}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{48}{91}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{15}{91}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{4}{13}$	$\frac{48}{91}$	$\frac{15}{91}$

∴E（X）=0×$\frac{4}{13}$+1×$\frac{48}{91}$+2×$\frac{15}{91}$=$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查了独立检验思想，超几何分布列与数学期望计算，属于中档题．