Question

5．设a=${∫}_{0}^{π}$sinxdx，则（a$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）⁶展开式的常数项为（　　）

• A． -20
• B． 20
• C． -160
• D． 160

Answer 1

分析 根据定积分的计算求出a的值，利用二项式定理的通项公式，令x的指数为0，可得常数项．

解答 解：由a=${∫}_{0}^{π}$sinxdx，
可得：$a=（{-cosx}）|_0^π=（{-cosπ}）-（{-cos0}）=2$，
∴$（a\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}{）^6}=（2\sqrt{x}+\frac{1}{{\sqrt{x}}}{）^6}$．
由（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）⁶展开式的通项为${T_{r+1}}=C_6^r•{2^{6-r}}•{x^{\frac{6-2r}{2}}}$，
令$\frac{6-2r}{2}=0，r=3$，
故得展开式的常数项为${T_4}=C_6^3•{2^3}=160$．
故选：D．

点评 本题考查了定积分的计算和二项式定理的通项公式的运用．求解常数项问题．属于基础题．