Question

已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x＜0时，f（x）满足2f（x）+xf′（x）＜x，则f（x）在R上的零点个数为（　　）

• A、1
• B、3
• C、5
• D、1或3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：可构造函数g（x）=x²f（x），利用导数判断其单调性，结合函数为奇函数，即可得出结论．

解答： 解：令g（x）=x²f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∵当x＜0时，f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＜x，
∴g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]＞x²＞0，
∴当x＜0时，g（x）为减函数，
则g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞0，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x）在R上只有一个零点为x=0．
故选A．

点评：本题主要考查利用构造函数法判断函数零点的知识，合理的构造函数是解决问题的关键．