Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

m2+1

+

y2

2m

=1的两个焦点，且在此椭圆上使△F₁PF₂为直角三角形的点P共有8个，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出

2

2

＜e＜1，e=

c

a

=

m2+1-2m

m2+1

，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：由题意有可得，以F₁F₂为直径的圆与椭圆有4个交点，
又离心率越大，椭圆越扁，当点P在y轴上时，b=c，
椭圆离心率为e=

c

a

=

c

2 c

=

2

2

，
∴

2

2

＜e＜1，
∵F₁、F₂是椭圆

x2

m2+1

+

y2

2m

=1的两个焦点，
∴e=

c

a

=

m2+1-2m

m2+1

，
∴

2

2

＜

m2-2m+1

m2+1

＜1，
∴

1

2

＜

m2-2m+1

m2+1

＜1，
∴

1

2

m2+

1

2

＜m²-2m+1，
整理，得m2 -4m+1＞0，
解得2-

3

＜m＜2+

3

．
∴m的取值范围为（2-

3

，2+

3

）．
故答案为：（2-

3

，2+

3

）．

点评：本题考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式知识的灵活运用．