Question

18．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面BC₁D；
（Ⅱ）若A₁A=A₁C，点A₁在平面ABC的射影在AC上，且侧面A₁ABB₁的面积为$2\sqrt{3}$，求三棱锥A₁-BC₁D的体积．

Answer 1

分析 （I）连接B₁C交BC₁于点E，连接DE．利用中位线定理可得DE∥A₁C，故而A₁C∥平面BC₁D；
（II）过点A₁作A₁O⊥平面ABC，垂足为O，则O为AC中点，利用勾股定理计算A₁O，代入体积公式V${\;}_{{A}_{1}-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•h$计算．

解答 （Ⅰ）证明：连接B₁C交BC₁于点E，连接DE．
则E为B₁C的中点，又D为A₁B₁的中点，
∴DE∥A₁C，又DE?平面BC₁D，A₁C?平面BC₁D，
∴A₁C∥平面BC₁D．
（Ⅱ）解：过点A₁作A₁O⊥平面ABC，垂足为O，则O在AC上，
∵A₁A=A₁C，∴O为AC的中点．
过点O作OF⊥AB于点F，连接A₁F．
∵A₁O⊥平面ABC，∴A₁O⊥AB，
又A₁O∩OF=O，A₁D?平面A₁OF，OF?平面A₁OF，
∴AB⊥平面A₁OF，∴A₁F⊥AB．
∴侧面A₁ABB₁的面积为AB•A₁F=2$\sqrt{3}$，
在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴A₁F=1，又AO=$\frac{1}{2}$AC=1，∠BAC=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设A₁O=h，则AA₁=$\sqrt{{h}^{2}+1}$，
由AA₁²=AF²+A₁F²可得h²+1=$\frac{3}{4}+1$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴V${\;}_{{A}_{1}-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．