Question

已知“k∈（m，+∞）”是“

x2

2

+

y2

8

≥

xy

2k

”的充分不必要条件，则实数的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：由原不等式想着求k的范围，这需要不等式两边同除以

x2

2

+

y2

8

，所以讨论

x2

2

+

y2

8

是否为0．为0时不可同除以该式，此时x=y=0，显然原不等式对任意的k都成立，并且此时的m∈R；当

x2

2

+

y2

8

≠0，即x，y不同时为0，可以得到：2k≥

xy

x2 2 + y2 8

，根据基本不等式

x2

2

+

y2

8

≥2•

x

2

•

y

8

=

xy

2

，所以得到

xy

x2 2 + y2 8

≤2，所以2^k≥2，k≥1，所以此时m应满足：m≥1，这样便得到实数m的取值范围了．

解答： 解：x=y=0时，原不等式对于任意的k∈R都成立，并且满足k∈（m，+∞）是

x2

2

+

y2

8

≥

xy

2k

的充分不必要条件，此时m∈R；
x，y不同时为0时，

x2

2

+

y2

8

＞0，∴由原不等式得2k≥

xy

x2 2 + y2 8

；
∵

x2

2

+

y2

8

≥2•

x

2

•

y

8

=

xy

2

；
∴

xy

x2 2 + y2 8

≤2；
∴2^k≥2，k≥1；
∵k∈（m，+∞）是

x2

2

+

y2

8

≥

xy

2k

的充分不必要条件，∴m≥1；
综上得实数m的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：考查充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念，指数函数的单调性，以及基本不等式：a²+b²≥2ab．