Question

已知f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），若x∈[0，1]，t∈[4，6）时，F（x）=g（x）-f（x）有最小值4，则a的值是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：把f（x）和g（x）代入到F（x），然后利用对数的运算性质化简，转化为关于a的不等式，再运用基本不等式即可．

解答： 解：∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（a＞1），x∈[0，1），t∈[4，6）时，F（x）=g（x）-f（x）有最小值是4，
∴F（x）=g（x）-f（x）=

log	(2x+t)2 x+1 a

，x∈[0，1），t∈[4，6），
∵a＞1，
∴令h（x）=

(2x+t)2

x+1

=

[2(x+1)+(t-2)]2

x+1

=4（x+1）+4（t-2）+

(t-2)2

x+1

，
∵0≤x＜1，4≤t＜6，
∴h（x）=4（x+1）+

(t-2)2

x+1

+4（t-2）在[0，1）上单调递增，
∴h（x）_min=h（0）=4+（t-2）²+4（t-2）=[（t-2）+2]²=t²，
∴F（x）_min=log_at²=4，
∴a⁴=t²；
∵4≤t＜6，
∴a⁴=16，
∴a=2．
故答案为：2．

点评：此题考查对数的运算性质，要求学生灵活运用对数运算的性质，熟练运用化归思想解决恒成立问题，易错点转化为a⁴≤在于h（x）=4（x+1）+

(t-2)2

x+1

+4（t-2），该先把最小值解出，再令它等于4，转化为在t∈[4，6）上有解，属于难题．