Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1-

1

n+1

）a_n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

1

an

，是否存在正数M使2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）对一切n∈N^*都成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到数列{na_n}为常数列，结合数列的首项即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=

1

an

求得b_n，代入2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）分离变量M后放缩，然后利用导数求出函数f（x）=

2x

2x+1

（x＞0）的单调性，由单调性求得最小值，则可求得使2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）对一切n∈N^*都成立的一个正数M．

解答： 解：（1）由a_n+1=（1-

1

n+1

）a_n，得an+1=

n

n+1

an，
即（n+1）a_n+1=na_n，
∴数列{na_n}为常数列．
∵a₁=1，
∴na_n=a₁=1，则an=

1

n

；
（2）b_n=

1

an

=n，
2ⁿ•b₁•b₂…b_n=2ⁿ•n!，

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）=

2n+1

•（1×3×5×…×2n-1），
若存在正数M使2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）对一切n∈N^*都成立，
即M≤

2n•n!

2n+1 •[1×3×5×…×(2n-1)]

=

2×4×6×…×2n

2n+1 •[1×3×5×…×(2n-1)]

＜

2n

2n+1

，
设函数f（x）=

2x

2x+1

（x＞0），
则f′(x)=

2x• 2x+1 •ln2-2x• 1 2x+1

2x+1

=

2x( 2x+1 •ln2- 1 2x+1 )

2x+1

=

2x• (2x+1)ln2-1 2x+1

2x+1

＞0．
∴f（x）=

2x

2x+1

（x＞0）为增函数，
由f（1）=

2

2×1+1‘

=

2 3

3

．
∴取M=

2 3

3

时，有M≤

2n

2n+1

．
即2ⁿ•b₁•b₂…b_n≥M•

2n+1

•（2b₁-1）•（2b₂-1）…（2b_n-1）对一切n∈N^*都成立．

点评：本题考查了数列不等式的综合，考查了等比数列的判断，训练了利用导数研究函数的单调性，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．