Question

已知函数f（x）=|x²+x-2|，x∈R．若方程f（x）-a|x-2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：由y=f（x）-a|x-2|=0得f（x）=a|x-2|，显然x=2不是方程的根，则a=|

x2+x-2

x-2

|，令x-2=t，则a=|t+

4

t

+5|有4个不相等的实根，画出y=|t+

4

t

+5|的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：方程f（x）-a|x-2|=0，
即为f（x）=a|x-2|，
即有|x²+x-2|=a|x-2|，
显然x=2不是方程的根，
则a=|

x2+x-2

x-2

|，
令x-2=t，则a=|t+

4

t

+5|有4个不相等的实根，画出y=|t+

4

t

+5|（t＜0）的图象，如右图：
在-4＜t＜-1时，t+

4

t

+5≤-2

t• 4 t

+5=1．
在x＞2时，t+

4

t

+5＞9，
则要使直线y=a和y=|t+

4

t

+5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1）∪（9，+∞），
故答案为（0，1）∪（9，+∞）．

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．