Question

已知函数f（x）=cos²

x

2

-sin²

x

2

-sinx．
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x₀∈（0，

π

4

）且f（x₀）=

4 2

5

时，求f（x₀+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）函数可化简为f（x）=-

2

sin（x-

π

4

），从而可求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）先求得sin（x₀-

π

4

）=-

4

5

，故可求得f（x₀+

π

4

）=-sinx₀=-sin[（x₀-

π

4

）+

π

4

]=

2

10

．

解答： 解：f（x）=cos²

x

2

-sin²

x

2

-sinx=cosx-sinx=-

2

sin（x-

π

4

）
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=2π，
2kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

⇒2kπ+

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

，
故单调增区间为[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]．
（2）由已知得：f（x₀）=

2

cos（x₀+

π

4

）=

4 2

5

故有cos（x₀+

π

4

）=

4

5

，
∵x₀∈（0，

π

4

）∴x₀+

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），sin（x₀+

π

4

）=

3

5

，
∴f（x₀+

π

4

）=

2

sinx₀=

2

sin[（x₀+

π

4

）-

π

4

]=-

1

5

．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，属于基础题．