Question

已知点F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（Ⅱ）过点M引出斜率分别为k₁，k₂的两直线l₁，l₂，l₁与抛物线C的另一交点为A，l₂与抛物线C的另一交点为B，记直线AB的斜率为k₃．
（ⅰ）若k₁+k₂=0，试求k₃的值；
（ⅱ）证明：

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）方法一：利用焦半径公式求出p，得到抛物线方程，又M（4，t）（t＞0）在抛物线C上，
求出M的坐标．
方法二：通过M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，得到t、p关系式利用|MF|=5，
得到另一个关系式，联立解得p，t，即可得到抛物线C的方程，点M的坐标；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线l₁：y-4=k₁（x-4），l₁与抛物线C交于M、A两点，联立方程组，利用韦达定理求出A的坐标，讨论推出B的坐标即可求解AB的斜率．
（ⅱ）由（ⅰ）求出k₃，然后计算

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

=2，即可证明：

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

为定值．

解答： 满分（13分）．
解：（Ⅰ）方法一：∵|MF|=5=4+

p

2

，∴p=2，…（2分）
∴抛物线C：y²=4x．…（3分）
又M（4，t）（t＞0）在抛物线C上，
∴t²=4×4=16⇒t=4．∴M（4，4）．…（4分）
方法二：∵M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，∴t²=8p…①．…（1分）
∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F坐标为(

p

2

，0)，且|MF|=5，
∴(4-

p

2

)2+t2=25…②． …（3分）
联立①②解得p=2，t=4（t＞0），
∴抛物线C的方程为y²=4x，点M的坐标为（4，4）．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设直线l₁：y-4=k₁（x-4），
∵l₁与抛物线C交于M、A两点，∴k₁≠0．…（5分）
由

y-4=k1(x-4) y2=4x

得：k1y2-4y+16-16k1=0，…（6分）
设A（x₁，y₁），则

y1+4= 4 k1 y1•4= 16-16k1 k1

，…（7分）
∴y1=

4-4k1

k1

，x1=

4(1-k1)2

k12

，即A(

4(1-k1)2

k12

，

4-4k1

k1

)．…（8分）
同理可得B(

4(1-k2)2

k22

，

4-4k2

k2

)．…（9分）
∵k₁+k₂=0，∴k₂=-k₁，B(

4(1+k1)2

k12

，

4+4k1

-k1

)．
∴k3=kAB=

4-4k1 k1 - 4+4k1 -k1

4(1-k1)2-4(1+k1)2 k12

=-

1

2

．…（10分）
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知

k3= 4-4k1 k1 - 4-4k2 k2 4(1-k1)2 k 2 1 - 4(1-k2)2 k22 = k1k2(k2-k1) (k1+k2-2k1k2)(k2-k1) .

=

k1k2

k1+k2-2k1k2

=

1

1 k1 + 1 k2 -2

．
∴

1

k3

=

1

k1

+

1

k2

-2，
∴

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

=2，
即证得

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

为定值．…（13分）

点评：本题主要考查抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想等．