Question

如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，点p在以AB为直径的半圆上移动，若

AP

=λ

AD

，则λ+μ的最大值是（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  +1
• C、2
• D、

  5 +1

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立坐标系，分别求得A，B，D，设∠PAB=α（0≤α≤

π

2

），求得P的坐标，再由已知条件得到λ+μ=

1

2

+

2sin2α+cos2α

2

，运用两角和的正弦公式，化简结合正弦函数的值域即可得到最大值．

解答： 解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立坐标系，
则B（2，0），D（0，1），A（0，0），

AB

=（2，0），

AD

=（0，1），
设∠PAB=α（0≤α≤

π

2

），
则P（2cosαcosα，2cosαsinα）即为

AP

=（1+cos2α，sin2α），
由

AP

=λ

AB

+μ

AD

，可得，
λ=

1+cos2α

2

，μ=sin2α，
即有λ+μ=

1

2

+

2sin2α+cos2α

2

=

1

2

+

5

2

sin（2α+θ），（tanθ=

1

2

，θ为锐角），
当且仅当2α+θ=

π

2

时，取得最大值，且为

1+ 5

2

．
故选D．

点评：本题考查平面向量的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考察正弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．