Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0＜x＜1，都有f（x）=lnx+

1

x

，则a=f（

2009

4

），b=f（

2011

2

），c=f（

2013

5

）的大小关系是（　　）

• A、c＜a＜b
• B、a＜c＜b
• C、c＜b＜a
• D、a＜b＜c

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据已知条件即可得到f（x）=（-1）ⁿf（x-2n），n∈N^*，所以可求得a=-f（

1

4

），b=-f（

1

2

），c=-f（

3

5

），而通过求导能够判断f（x）在（0，1）上单调递减，从而可比较f（

1

4

），f（

1

2

），f（

3

5

）的大小关系，从而得出a，b，c的大小关系．

解答： 解：根据已知条件，f（x）=f（x-1+1）=-f[-（x-1）+1]=-f（x-2）=（-1）ⁿf（x-2n），n∈N^*；
∴a=f（

2009

4

）=f（

1

4

+502）=(-1)251f(

1

4

+502-2×251)=-f(

1

4

)；
b=f（

1

2

+1005）=f(

1

2

+1+2×502)=f(

1

2

+1)=-f(

1

2

)；
c=f(

3

5

+402)=-f(

3

5

)；
0＜x＜1时，f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

＜0；
∴f（x）在（0，1）上是减函数；
∴f(

3

5

)＜f(

1

2

)＜f(

1

4

)；
∴-f(

3

5

)＞-f(

1

2

)＞-f(

1

4

)；
即a＜b＜c．
故选：D．

点评：考查奇函数，偶函数的定义，以及通过判断导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性比较函数值的大小．