Question

已知x＞0，y＞0，x+y=1，n∈N^*，求证：x²ⁿ+y²ⁿ≥

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22n-1

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：构造f（x）=x²ⁿ+（1-x）²ⁿ-

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22n-1

，利用导数法可求得f（x）_min=f（

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）=0，从而可得f（x）≥0，即所证的不等式成立．

解答： 证明：因为x＞0，y＞0，x+y=1，n∈N^*，
所以，y=1-x∈（0，1），同理知，x∈（0，1）．
构造函数f（x）=x²ⁿ+（1-x）²ⁿ-

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22n-1

，下面只需证明f（x）≥0．
则f′（x）=2n[x^2n-1-（1-x）^2n-1]，
令f′（x）=0，则x^2n-1=（1-x）^2n-1，解得x=

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，
当1＞x＞

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时，x^2n-1＞（1-x）^2n-1，故f′（x）＞0；
当0＜x＜

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时，x^2n-1＜（1-x）^2n-1，故f′（x）＜0；
所以x=

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为f（x）=0的唯一极小值点，
所以f（x）≥f（x）_min=f（

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）=(

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)2n+(

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)2n-

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22n-1

=(

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2

)2n-1-(

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2

)2n-1=0，
所以，x²ⁿ+y²ⁿ≥

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22n-1

，即待证式成立．

点评：本题考查不等式的证明，构造函数f（x）=x²ⁿ+（1-x）²ⁿ-

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22n-1

，利用导数法可求得f（x）_min=f（

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）=0是关键，也是难点，考查创新思维与推理论证能力，属于难题．