Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x，-4≤x≤0}\\{-{2}^{x}，0＜x≤a}\end{array}\right.$的值域是[-8，1]，则实数a的取值范围是（0，3]．

Answer 1

分析 由二次函数的性质可得当4≤x≤0时，函数的值域刚好为[-8，1]，故只需y=-2^x，a≤x＜0的值域应为[-8，1]的子集，可得a的不等式，结合指数函数的单调性可得．

解答 解：当-4≤x≤0时，f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=-1，
故函数在[-4，-1]单调递增，[-1，0]单调递减，
当x=-1时，函数取最大值1，当x=-4时，函数取最小值-8，
又函数f（x）的值域为[-8，1]，
∴y=-2^x，a≤x＜0的值域应为[-8，1]的子集，
又y=-2^x单调递减，∴y∈[-2^a，-1），
故只需-2^a≥-8即可，解得0＜a≤3
故答案为：（0，3]．

点评 本题考查函数的值域，涉及分段函数和指数函数，属基础题．