Question

2．已知直线y=k（x-1）+1与圆C：x²-4x+y²+1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为2．

Answer 1

分析 求出圆C的圆心C（2，0），半径r=$\sqrt{3}$，从而求出圆心C（2，0）到直线y=k（x-1）+1的距离d=$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，进而得到|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，再利用基本等式能求出|AB|的最小值．

解答 解：圆C：x²-4x+y²+1=0的圆心C（2，0），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16-4}$=$\sqrt{3}$，
圆心C（2，0）到直线y=k（x-1）+1的距离d=$\frac{|2k-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{3-\frac{（k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$2\sqrt{3-\frac{{k}^{2}+1+2k}{{k}^{2}+1}}$=$2\sqrt{2-\frac{2k}{{k}^{2}+1}}$≥2．
当且仅当k=1时取等号，
∴|AB|的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查直线被圆截得的弦长的最小值求法及应用，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．