Question

8．设a，b，c都是正实数，且a+b+c=1，则$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}{b}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）$的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{8}$）
• B． [8，+∞）
• C． [1，8）
• D． [$\frac{1}{8}$，1）

Answer 1

分析 根据a+b+c=1，得到$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}{b}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）$=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}{b}$•$\frac{a+b}{c}$，根据基本不等式的性质求出其范围即可．

解答 解：∵a，b，c都是正实数，且a+b+c=1，
∴$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}{b}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）$
=（$\frac{a+b+c}{a}-1$）（$\frac{a+b+c}{b}$-1）（$\frac{a+b+c}{c}$-1）
=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}{b}$•$\frac{a+b}{c}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}{b}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$
=8，
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时“=”成立，
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是一道中档题．