Question

18．已知函数f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）若f（θ）=$\frac{13}{20}$，-$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{6}$，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）化函数f（x）为余弦型函数，根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]时求出f（x）的值域即可；
（2）由f（θ）求出cos（2θ+$\frac{π}{3}$）的值，利用cos2θ=cos[（2θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]求出三角函数值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）
=cosx（cosxcos$\frac{π}{3}$-sinxsin$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{1}{4}$（1+cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x∈[0，π]，
2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]；
（2）f（θ）=$\frac{1}{2}$cos（2θ+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{20}$，
∴cos（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$
-$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{6}$，∴0＜2θ+$\frac{π}{3}$＜π
∴sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1{-sin}^{2}（2θ+\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$
∴cos2θ=cos[（2θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]
=cos（2θ+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（2θ+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查了三角函数恒等变换以及三角函数求值问题，是中档题．