Question

已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设F（x）=x+

1

x

-f（x），求函数F（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数法即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）由题意得F（x）=x-

lnx

x

，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，
∴f′（x）=(

1+lnx

x

)′=-

lnx

x2

，
当lnx＞0即x＞1时，f′（x）＜0；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）F（x）=x+

1

x

-f（x）=x+

1

x

-

1+lnx

x

=x-

lnx

x

，
∴F′（x）=

x2-1+lnx

x2

，
设h（x）=x²-1+lnx，则h′（x）=2x+

1

x

＞0（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
又h（1）=0，∴F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1，
∴F（x）在（0，1）上是单调减函数，在[1，+∞）为增函数，
∴函数F（x）的最小值为F（1）=1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求单调区间及最值问题，考查学生的运算能力，属中档题．