Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=11，AD=7，AA₁=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为l_i（i=2，3，4），l₁=AE，将线段l₁，l₂，l₃，l₄竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：真题集萃,空间中的点的坐标,点、线、面间的距离计算

专题：空间向量及应用

分析：根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．

解答： 解：根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A₁的坐标为：（0，0，12），B₁的坐标为（11，0，12），C₁的坐标为（11，7，12），D₁的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l₁长度计算
所以：l₁=|AE|=

(4-0)2+(3-0)2+(12-0)2

=13．
（2）l₂长度计算
将平面A₁B₁C₁D₁沿Z轴正向平移AA₁个单位，得到平面A₂B₂C₂D₂；显然有：
A₂的坐标为：（0，0，24），B₂的坐标为（11，0，24），C₂的坐标为（11，7，24），D₂的坐标为（0，7，24）；
显然平面A₂B₂C₂D₂和平面ABCD关于平面A₁B₁C₁D₁对称．
设AE与的延长线与平面A₂B₂C₂D₂相交于：E₂（x_E2，y_E2，24）
根据相似三角形易知：
x_E2=2x_E=2×4=8，
y_E2=2y_E=2×3=6，
即：E₂（8，6，24）
根据坐标可知，E₂在长方形A₂B₂C₂D₂内．
根据反射原理，E₂在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．
所以F的坐标为（8，6，0）．
因此：l₂=|EF|=

(8-4)2+(6-3)2+(0-12)2

=13．
（3）l₃长度计算
设G的坐标为：（x_G，y_G，z_G）
如果G落在平面BCC₁B₁；
这个时候有：x_G=11，y_G≤7，z_G≤12
根据反射原理有：AE∥FG
于是：向量

AE

与向量

FG

共线；
即有：

AE

=λ

FG

因为：

AE

=（4，3，12）；

FG

=（x_G-8，y_G-6，z_G-0）=（3，y_G-6，z_G）
即有：（4，3，12）=λ（3，y_G-6，z_G）
解得：y_G=

33

4

，z_G=9；
故G的坐标为：（11，

33

4

，9）
因为：

33

4

＞7，故G点不在平面BCC₁B₁上，
所以：G点只能在平面DCC₁D₁上；
因此有：y_G=7；x_G≤11，z_G≤12
此时：

FG

=（x_G-8，y_G-6，z_G-0）=（x_G-8，1，z_G）
即有：（4，3，12）=λ（x_G-8，1，z_G）
解得：x_G=

28

3

，z_G=4；
满足：x_G≤11，z_G≤12
故G的坐标为：（

28

3

，7，4）
所以：l₃=|FG|=

( 28 3 -8)2+(7-6)2+(4-0)2

=

13

3

（4）l₄长度计算
设G点在平面A₁B₁C₁D₁的投影为G’，坐标为（

28

3

，7，12）
因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；
即：AEFGH共面
故EG的反射线GH只能与平面A₁B₁C₁D₁相交，且交点H只能在A₁G'；
易知：l₄＞|GG’|=12-4=8＞l₃．
根据以上解析，可知l₁，l₂，l₃，l₄要满足以下关系：
l₁=l₂；且l₄＞l₃
对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．
故本题选：C．

点评：本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．