Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比数列，且b₂=7，b₅=71，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，结合a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列列式求出公差，则数列{a_n}的通项可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项代入b_n-（-1）ⁿa_n，由{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比数列，且b₂=7，b₅=71列式求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，则数列{b_n}的通项可求，然后分n为奇数和偶数利用分组求和得答案．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（3d+2）²=（d+2）（7d+2），
解得d=2，
故a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）令cn=bn-(-1)nan，设{c_n}的公比为q，
∵b₂=7，b₅=71，a_n=2n，
∴c₂=b₂-a₂=7-4=3，c₅=b₅+a₅=71+10=81，
∴q3=

c5

c2

=

81

3

=27，故q=3，
∴cn=c2•qn-2=3×3n-2=3n-1，
即bn-(-1)nan=3n-1，
∴bn=3n-1+(-1)n2n．
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（3⁰+3¹+…+3^n-1）+[-2+4-6+…+（-1）ⁿ2n]
当n为偶数时，Tn=

1-3n

1-3

+2×

n

2

=

3n+2n-1

2

；
当n为奇数时，Tn=

1-3n

1-3

+2×

n-1

2

-2n=

3n-2n-3

2

．
∴Tn=

3n+2n-1 2 (n为偶数) 3n-2n-3 2 (n为奇数)

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查利用分组求和法求数列的和，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．