Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，若已知点(n，

Sn

n

)均在函数y=x+1图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

4

anan+1

，设T_n是{b_n}前n项和，求使m＞T_n对所有n∈N^*都成立的m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得到数列递推式，即数列的前n项和，则数列的通项公式可求；
（2）把（1）中求得的通项代入b_n=

4

anan+1

，整理后利用裂项相消法求和，求出T_n的范围，则答案可求．

解答： 解：（1）由条件知

Sn

n

=2n-1，
即Sn=2n2-n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-3．
又n=1时，a₁=s₁=1符合上式，
∴a_n=4n-3（n∈N^*）；
（2）b_n=

4

anan+1

=

4

(4n-3)(4n+1)

=

1

4n-3

-

1

4n+1

．
∴T_n=1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

=1-

1

4n+1

=

4n

4n+1

=1-

1

4n+1

＜1．
∴m≥1．
即使m＞T_n对所有n∈N^*都成立的m的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了由数列的前n项和求数列的通项，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．