Question

已知函数f（x）=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 3x2，x∈[ 1 2 ，1]

，若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则x₁•f（x₂）的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意易知f（x）在[0，

1

2

），[

1

2

，1]上单调递增，从而可得x₁∈[0，

1

2

），x₂∈[

1

2

，1]；从而求出x₁的取值范围并化简x₁•f（x₂）=x₁•（x₁+

1

2

），从而求其取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x+

1

2

，x∈[0，

1

2

）为单调递增，
f（x）=3x²在[

1

2

，1]上单调递增，
则由存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）得，
x₁∈[0，

1

2

），x₂∈[

1

2

，1]，
即x₁+

1

2

=3

x

2 2

，则

1

4

≤x₁＜

1

2

，
则x₁•f（x₂）=x₁•（x₁+

1

2

），
则

1

4

•（

1

4

+

1

2

）≤x₁•（x₁+

1

2

）＜

1

2

•1，
即

3

16

≤x₁•（x₁+

1

2

）＜

1

2

，
故答案为：[

3

16

，

1

2

）．

点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了单调函数的应用，属于中档题．