Question

已知f（x）=

1

2

x²-mlnx（m∈R）
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）在[1，e]上的最大，最小值．
（Ⅱ）若函数f（x）在（

1

2

，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当m=2时，f′(x)=x-

2

x

=

x2-2

x

，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[1，e]上的最大，最小值．
（Ⅱ）由f′(x)=x-

m

x

(x＞0)，函数f（x）在（

1

2

，+∞）上单调递增，由此利用导数性质能求出实数m的取值范围．

解答： （本小题共12分） 
解：（Ⅰ）当m=2时，f′(x)=x-

2

x

=

x2-2

x

，
令f′（x）=0，得x=

2

，…（2分）
当x∈[1，

2

]时，f′（x）＜0，
当x∈[

2

，e]时，f′（x）＞0，
故x=

2

是函数f（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…（4分）
故f（x）_min=f（

2

）=1-ln2．…（5分），
又f（1）=

1

2

，f（e）=

1

2

e2-2=

e2-4

2

＞

1

2

，
故f（x）_max=

e2-4

2

．…（7分）
（Ⅱ）f′(x)=x-

m

x

(x＞0)，…（8分）
若函数f（x）在（

1

2

，+∞）上单调递增，
则f′（x）≥0在（

1

2

，+∞）上恒成立，
即m≤x²在（

1

2

，+∞）上恒成立，即m≤

1

4

．…（11分）
即实数m的取值范围为(-∞，

1

4

]．…（12分）

点评：本题考查函数的最大值和最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．