Question

（1+x+

1

x2

）¹⁰的展开式中的常数项是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：将已知的二项式转化为：（1+x+

1

x2

）¹⁰=（1+x+

1

x2

）（1+x+

1

x2

）…（1+x+

1

x2

）（10个括号相乘），利用组合数的性质，即可求得其展开式中的常数项．

解答： 解：∵（1+x+

1

x2

）¹⁰=（1+x+

1

x2

）（1+x+

1

x2

）…（1+x+

1

x2

）（10个括号相乘），
∴每个括号中都提供常数项1，有1¹⁰种；
10个括号中有选两个两个提供x项，从剩余的8个括号中选一个提供

1

x2

，其余的括号中均提供1，有

C

2 10

•

C

1 8

种；
依此类推，
∴展开式中的常数项为1¹⁰+

C

2 10

•

C

1 8

+

C

4 10

•

C

2 6

+

C

6 10

•

C

3 4

=1+360+3150+840=4351．
故答案为：4351．

点评：本题考查二项式系数的性质，熟练应用组合数的性质是解决问题的关键，突出考查转化思想．