Question

F₁，F₂是双曲线

x2

9

-

y2

7

=1的两个焦点，A为双曲线上一点，且∠AF₁F₂=45°，则△AF₁F₂的面积为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

9

-

y2

7

=1可得a²=9，b²=7，c²=a²+b²，c=4．由于∠AF₁F₂=45°，可得直线AF₁的方程为y=x+4．与双曲线方程联立可得y_A，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答： 解：由双曲线

x2

9

-

y2

7

=1可得a²=9，b²=7，c²=a²+b²=16，
∴c=4．
∴F₁（-4，0），F₂（4，0）．
∵∠AF₁F₂=45°，
∴直线AF₁的方程为y=x+4．
联立

y=x+4 x2 9 - y2 7 =1

，化为2y²+56y-49=0，
解得y=

-28±7 17

2

．
取y=

7 17 -28

2

∴△AF₁F₂的面积=

1

2

•2c•|yA|=14

17

-56．
故答案为：14

17

-56．

点评：本题考查了直线与双曲线相交问题转化为方程联立求得交点坐标、三角形面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．