Question

13．若数列{a_n}满足：a₁＜a₂＞a₃＜a₄＞…＞a_2n-1＜a_2n＞a_2n+1…，则称数列{a_n}为“正弦数列”，现将1，2，3，4，5这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为a，则二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中含x²项的系数为-96．

Answer 1

分析 分别列出首位是2、3、4，5时的情况，即可得到a的值为16；求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x²项的系数．

解答 解：由题意，偶数项要比相邻的奇数项大，
当首位是1时，13254，14253，14352，15243，15342，共计5个；
首位是2时，23154，24153，24351，25143，25341，共计5个；
当首位是3时，34152，34251，35142，35241，共计4个；
当首位是4时，45231，45132，共计2个，
故共有5+5=4+2=16种，即a=16．
二项式（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶=（$\sqrt{x}$-$\frac{16}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-16）^r•x^3-r，
令3-r=2，求得r=1，
故展开式中含x²项的系数为6×（-16）=-96．
故答案为：-96．

点评 本题考查了新定义以及二项式系数的性质、通项公式的应用问题，是综合题．