Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，s_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求 S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想{a_n}的前n项和 S_n的公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件知S₁=a₁=1，S₂=4a₂=$\frac{4}{3}$，S₃=9a₃=$\frac{3}{2}$，S₄=16a₄=$\frac{8}{5}$．
（2）猜想S_n=$\frac{2n}{n+1}$，再用数学归纳法对这个猜想加以证明．

解答 解：（1）S₁=a₁=1
由题意知，S₂=4a₂=4（S₂-S₁），
∴S₂=$\frac{4}{3}$，
S₃=9a₃=4（S₃-S₂），
∴S₃=$\frac{3}{2}$
同理得，S₄=$\frac{8}{5}$
（2）由（1）S₁=1=$\frac{2×1}{1+1}$，S₂=$\frac{4}{3}$=$\frac{2×2}{2+1}$，S₃=$\frac{3}{2}$=$\frac{3×2}{3+1}$，S₄=$\frac{8}{5}$=$\frac{4×2}{4+1}$
猜想{a_n}的前n项和 S_n=$\frac{2n}{n+1}$，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=1=$\frac{2×1}{1+1}$，故结论成立，
②假设当n=k时，猜想成立，即S_k=$\frac{2k}{k+1}$，
那么当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k=$\frac{2k}{k+1}$+$\frac{{S}_{k+1}}{（k+1）^{2}}$，
∴[1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$]S_k+1=$\frac{2k}{k+1}$，
∴S_k+1=$\frac{2k}{k+1}$•$\frac{（k+1）^{2}}{（k+1）^{2}-1}$=$\frac{2（k+1）}{k+2}$=$\frac{2（k+1）}{（k+1）+1}$
即当n=k+1时，结论也成立
综上①②知，对n∈N*时，S_n=$\frac{2n}{n+1}$，即{a_n}的前n项和 S_n=$\frac{2n}{n+1}$

点评 本题考查数列的性质和应用，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧．