Question

8．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）

• A． 64π
• B． 65π
• C． 66π
• D． 128π

Answer 1

分析 求出△ABC外接圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：由于PB=PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，
由于平面ABC⊥平面PBC，
即有PO'⊥平面ABC，
∵PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，
∴PB=6，PO'=4$\sqrt{2}$，
△ABC中，AB=AC=6，BC=4，
∴sin∠ABC=$\frac{4\sqrt{2}}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴2r=$\frac{6}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，
设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，
则（$\frac{9}{2\sqrt{2}}$）²+h²=（4$\sqrt{2}$-h）²+（4$\sqrt{2}$-$\frac{9}{2\sqrt{2}}$）²=R²，
解得R=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
球O的表面积为4πR²=65π，
故选：B．

点评 本题考查面面垂直的性质定理和球的截面的性质的运用，熟记这些定理是解题的关键．