Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₂•b₂=$\frac{5}{8}$，S₅=$\frac{35}{2}$．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求证：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₂•b₂=$\frac{5}{8}$，S₅=$\frac{35}{2}$．可得b₂=$\frac{1}{2{a}_{1}+d}$，$（{a}_{1}+d）×\frac{1}{{2a}_{1}+d}$=$\frac{5}{8}$，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=$\frac{35}{2}$，解得a₁，d，即可得出．
（2）由（1）可得：b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$．利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₂•b₂=$\frac{5}{8}$，S₅=$\frac{35}{2}$．
∴b₂=$\frac{1}{2{a}_{1}+d}$，$（{a}_{1}+d）×\frac{1}{{2a}_{1}+d}$=$\frac{5}{8}$，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=$\frac{35}{2}$，
解得a₁=$\frac{3}{2}$，d=1．
∴a_n=$\frac{3}{2}+（n-1）$=$\frac{2n+1}{2}$．
S_n=$\frac{n（\frac{3}{2}+\frac{2n+1}{2}）}{2}$=$\frac{n（n+2）}{2}$．
b_n=$\frac{2}{n（n+2）}$．
（2）证明：由（1）可得：b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$．
b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$$＜\frac{3}{2}$，
∴b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．