Question

已知数列{a_n}的前S_n项和为（a_n-S_n-1）²=S_n•S_n-1（n≥2），且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求a₂的值，并证明{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=（-1）ⁿlog₂S_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题

分析：（ I）令n=2，得(a2-a1)2=(a1+a2)•a1，化简得：a22-3a2=0求出a₂；由题意得(Sn-2Sn-1)2=Sn•Sn-1整理得：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0

Sn

Sn-1

=4得出{S_n}是等比数列．
（ II）由（ I）知，Sn=4n-1求出bn=(-1)n(2n-2)通过对n分类讨论求出和或用错位相减法求和．

解答： 解：（ I）令n=2，得(a2-a1)2=(a1+a2)•a1，
化简得：a22-3a2=0
∵a_n＞0，
∴a₂=3…（2分）
由题意得(Sn-2Sn-1)2=Sn•Sn-1…（4分）
整理得：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0
∴a_n（S_n-4S_n-1）=0…（5分），
∴a_n＞0，∴

Sn

Sn-1

=4
∴{S_n}是等比数列                              …（7分）
（ II）由（ I）知，Sn=4n-1…（8分）
∴bn=(-1)n(2n-2)…（10分）

∴Tn=2×[0+1-2+3-4+…+(-1)n(n-1)] = 1-n，n为奇数 n，n为偶数 .

…（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，求解数列的和方法的应用，属于数列知识的综合应用．