Question

已知数列{a_n}中，a_n+1=2a_n+1，a₁=1，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=

log2(an+1)

2n

，且T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1=2a_n+2=2（a_n+1）即

an+1

an

=2数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式．
（2）先求出b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

，利用错位相减的方法求出T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1=2a_n+2=2（a_n+1），
∴

an+1

an

=2，
又a₁=1，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查数列求通项的方法、数列求前n项和的方法；关键是求出通项据通项的特点选择合适的方法，属于一道中档题．