Question

如图，已知曲线C₁：

x2

2

-y²=1，曲线C₂：|y|=|x|+1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C₁，C₂都有公共点，则称P为“C₁-C₂型点”． 
（Ⅰ）设直线y=kx与C₂有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C₁-C₂型点”；
（Ⅱ）求证：圆x²+y²=

1

2

内的点都不是“C₁-C₂型点”．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由直线y=kx与C₂有公共点，联立方程组有实数解得到|k|＞1，再求出直线y=kx与C₁有交点，联立方程组有实数解得到k的范围，即可得出结论；
（Ⅱ）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=-x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆x²+y²=

1

2

内的点且斜率为k的直线与C₂无公共点，当|k|＞1时，过圆x²+y²=

1

2

内的点且斜率为k的直线与C₂有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．

解答： （Ⅰ）解：直线y=kx与C₂有交点，则

y=kx |y|=|x|+1

⇒(|k|-1)|x|=1，
若方程组有解，则必须|k|＞1；
直线y=kx与C₁有交点，则

y=kx x2-2y2=2

⇒(1-2k2)x2=2，若方程组有解，则必须k2＜

1

2

故直线y=kx至多与曲线C₁和C₂中的一条有交点，即原点不是“C₁-C₂型点”．
（Ⅱ）证明：显然过圆x2+y2=

1

2

内一点的直线l若与曲线C₁有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C₂交于点（t，t+1）（t≥0），则l：y-（t+1）=k（x-t）⇒kx-y+（1+t-kt）=0
直线l与圆x2+y2=

1

2

内部有交点，故

|1+t-kt|

k2+1

＜

2

2

化简得，(1+t-tk)2＜

1

2

(k2+1)…①
若直线l与曲线C₁有交点，则

y=kx-kt+t+1 x2 2 -y2=1

⇒(k2-

1

2

)x2+2k(1+t-kt)x+(1+t-kt)2+1=0△=4k2(1+t-kt)2-4(k2-

1

2

)[(1+t-kt)2+1]≥0⇒(1+t-kt)2≥2(k2-1)
化简得，（1+t-kt）²≥2（k²-1）…②
由①②得，2(k2-1)≤(1+t-tk)2＜

1

2

(k2+1)⇒k2＜1
但此时，因为t≥0，[1+t(1-k)]2≥1，

1

2

(k2+1)＜1，即①式不成立；
当k2=

1

2

时，①式也不成立
综上，直线l若与圆x2+y2=

1

2

内有交点，则不可能同时与曲线C₁和C₂有交点，
即圆x2+y2=

1

2

内的点都不是“C₁-C₂型点”．

点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．