题目内容
设F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，R，S，T为该抛物线上三点，若
+
+
=
，且|
|+|
|+|
|=6．
（Ⅰ）求抛物线y2=2px的方程；
（Ⅱ）M点的坐标为（m，0）其中m＞0，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，A，B两点的横坐标均不为m，连接AM、BM并延长交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2．
=4，求m的值．
| FR |
| FS |
| FT |
| 0 |
| FR |
| FS |
| ST |
（Ⅰ）求抛物线y2=2px的方程；
（Ⅱ）M点的坐标为（m，0）其中m＞0，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，A，B两点的横坐标均不为m，连接AM、BM并延长交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2．
| k1 |
| k2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）利用
+
+
=
，且|
|+|
|+|
|=6，结合雪亮知识及抛物线的定义，即可求抛物线y2=2px的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用
=4，可得y1+y2=
（y3+y4）．设AC所在直线方程为x=ty+m，代入抛物线方程，求出y1y3=-4m，同理y2y4=-4m，进而可得y1y2=-m，设AB所在直线方程为x=ty+1，代入抛物线方程，即可得出结论．
| FR |
| FS |
| FT |
| 0 |
| FR |
| FS |
| ST |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用
| k1 |
| k2 |
| 1 |
| 4 |
解答：
解：（Ⅰ）设R（xR，yR），S（xS，yS），T（xT，yT），则
∵
+
+
=
，
∴xR+xS+xT=
p，
∴|
|+|
|+|
|=xR+xS+xT+
p=3p=6，
∴p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则
k1=
=
，k2=
，
∵
=4，
∴y1+y2=
（y3+y4）．
设AC所在直线方程为x=ty+m，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4m=0，
∴y1y3=-4m，
同理y2y4=-4m，
∴y1+y2=
（
+
），
∴y1y2=-m，
设AB所在直线方程为x=ty+1，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4=0，
∴y1y2=-4，
∴m=4．
∵
| FR |
| FS |
| FT |
| 0 |
∴xR+xS+xT=
| 3 |
| 2 |
∴|
| FR |
| FS |
| ST |
| 3 |
| 2 |
∴p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则
k1=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 4 |
| y1+y2 |
| 4 |
| y3+y4 |
∵
| k1 |
| k2 |
∴y1+y2=
| 1 |
| 4 |
设AC所在直线方程为x=ty+m，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4m=0，
∴y1y3=-4m，
同理y2y4=-4m，
∴y1+y2=
| 1 |
| 4 |
| -4m |
| y1 |
| -4m |
| y2 |
∴y1y2=-m，
设AB所在直线方程为x=ty+1，代入抛物线方程，可得y2-4ty-4=0，
∴y1y2=-4，
∴m=4．
点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
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